dieser audiobeitrag wird von der universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir hatten das letzte mal gesehen, dass wenn wir speziell symmetrische bilingale Formen

anschauen, das heißt also bilingale Formen die durch symmetrische Matrizen dargestellt werden,

wie diese diagonalisieren können, das kann man nun auf zwei verschiedene arten sehen,

wenn wir das auf, über einen algebraisch abgeschlossenen Körper machen,

oder konkret über R auch machen, dann wissen wir das schon, denn wir wissen sogar,

dass wir eine Orttonormalbasis aus Eigenvektoren haben, das heißt in dem

Fall können wir diese Diagonalisierung, die dann zwar erstmal

eine Ähnlichkeitstransvormation ist, aber wegen der

der orthogonalität der matrix dann auch zu einer konkurrenz transformation also

vom typ a transponiert ga wird können wir diese diagonalisierung herstellen

und die diagonale einträge sind die eigenwerte und die transformationsmatrix

besteht aus den ortonormalen eigenvektoren die da eine basis bilden

das ist die spezielle situation die wir natürlich auch bedeutet dass man die

eigenwerte und so weiter alle auch berechnen muss was wir das letzte mal

gesehen haben dass wenn man ein kleines stück zurückgeht und sagt ich verzichte

auf diese orthogonalität und möchte nur die invertierbarkeit der

transformationsmatrix haben dann und dann fällt natürlich die konkurrenz

transformation auseinander ist dann verschieden von der ähnlichkeit

transformation bilinearformen transformieren sich anders im allgemeinen

als lineare abbildungen dann können wir das auch bewerkstelligen und zwar durch

endlich viele rechenschritte die im wesentlichen diesen vorgang der

quadratischen ergänzung systematisieren ohne eigenwert berechnung eigenwert

berechnung ist ein nicht linear vorgang ist im allgemeinen eben nicht mit endlich

vielen schritten zu bewerkstelligen hier die diagonalisierung in diesem

allgemeineren sinne ist durchaus in endlich vielen schritten zu machen und

wie wir es gesehen haben ist das eine variante des gaußverfahrens was wir da

im wesentlichen braucht gut jetzt wollen wir mal schauen

das heißt also wir haben jetzt wenn wir in diesem sinne diagonalisieren

wesentlich mehr freiheitsgrade und zwar mal schauen wie weit diese

freiheitsgrade gehen die erste überlegung ist und das hängt jetzt vom

körper ab das heißt also wir lassen jetzt mal den allgemeinen körper der

bisher ausreichend war im wesentlichen mit der einschränkung charakteristik

ungleich 2 außen vor und sie gehen wieder auf die reellen zahlen hier ist

das auch noch zusätzlich für die komplexen zahlen formuliert für den fall

einer hermitischen matrix aber bleiben wir ruhig mal für den bei dem rein

reellen fall die frage ist wie kann ich jetzt also diese schon mal erreichte

diagonalmatrix noch weiter vereinfachen und dann sagt dieser satz hier der ist

jetzt relativ schnell einzusehen ich kann sogar noch mal einen schritt weitergehen

ich kann diese konkurrenz transformation noch weiter treiben insofern dass ich

die diagonalmatrix bekomme deren einträge nur 1 minus 1 oder 0 sind

das heißt ich ist tauchen hier zwei charakteristische zahlen auf die zahl p

die anzahl der 1 einträge die zahl wie heißt sie m der minus 1 einträge und

entsprechend an n minus p minus m die anzahl der nullen keine der drei muss

natürlich vorhanden sein und inwieweit diese zahlen p und m oder p plus m da

invarianten dieser transformation sind das werden wir jetzt noch sehen müssen

schauen wir uns vielleicht erst mal den beweis an für diese form dass es nun

jetzt nicht sonderlich aufwendig da müssen wir einfach nur schauen dass wir

die diagonalmatrix die wir ja eh schon haben nach den vorüberlegungen noch auf

diese spezielle gestalt bringen das heißt dass wir müssen bloß folgendes